Трикутник і коло

Теорія:

Коло, описане навколо трикутника

Окружність називають описаної навколо трикутника, якщо всі вершини трикутника розташовані на колі.

Її центр рівновіддалений від усіх вершин, тобто повинен знаходитися в точці перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника.
Отже, навколо будь-якого трикутника можна описати коло, так як серединні перпендикуляри до сторін перетинаються в одній точці.

 

 

Для гострокутного трикутника центр кола знаходиться в трикутнику.

 

Інша ситуація з прямокутним і тупокутним трикутниками.

 

             

Коло, вписане в трикутник

Окружність називають вписаною в трикутник, якщо всі сторони трикутника торкаються кола.

Її центр рівновіддалений від усіх сторін, тобто повинен знаходиться в точці перетину бісектрис трикутника.

 

Отже, в будь-який трикутник можна вписати коло, так як бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.

 

 

Так як бісектриси кутів трикутника завжди перетинаються всередині трикутника, то для всіх трикутників центр вписаного кола знаходиться в трикутниках.

Формули

Рівносторонній трикутник

Зверни увагу!

У рівностороннього трикутника збігаються бісектриси, медіани і висоти, тобто, ці відрізки є також серединними перпендикулярами. Це означає, що центри описаного і вписаного кола збігаються.

Радіус описаного кола

 

R=23h, тому R=a3√3.

 

Радіус вписаного кола

 

r=13h, де h — висота трикутника.

Якщо дана сторона трикутника a, то h=a3√2.

Тому r=a3√6

 

Прямокутний трикутник

 

Радіус описаного кола

 

R=12c, де c — гіпотенуза.

 

Радіус вписаного кола

 

r=SΔp, де p — напівпериметр.

 

Довільний трикутник

 

Радіус описаного кола

 

R=a⋅b⋅c4⋅SΔ

R=a2sinα, де α — кут, протилежний стороні a.

 

якщоSΔ=abc4R,тоR=abc4SΔ;якщоSΔ=p⋅r,тоr=SΔp

 

Радіус вписаного кола

 

r=SΔp, де p — напівпериметр.