Зворотна функція

Функцію y=f(x), x∈X називають зворотною, якщо будь-яке своє значення вона приймає тільки в одній точці множини X (другими словами, якщо різним значенням аргументу відповідають різні значення функції).

Теорема 1

Якщо функція  y=f(x), x∈X монотонна на множині X, то вона зворотна.

Нехай y=f(x), x∈X - зворотна функція та E(f)=Y. Поставимо у відповідність кожному y з Y єдине значення \ (x \), при якому f(x)=y (тобто єдиний корінь рівняння f(x)=y відносно змінної x). Тоді отримаємо функцію,яка визначена на Y, а X - область її значень. Цю функцію позначають x=f−1(y),y∈Y і називають зворотною по відношенню до функції y=f(x), x∈X.

Теорема 2

Якщо функція y=f(x) зростає (убуває) на множині X, а Y - область значення функції, то зворотна функція x=f−1(y),y∈Y зростає (убуває) на множині Y.

 

Теорема 3

Точки M(a;b) і P(b;a) симетричні відносно прямої y=x.

Знаходження формули для функції, що зворотна даній

Користуючись формулою y=f(x), слід виразить x через y, а в отриманій формулі x=g(y) замінити x на y, а y на x.

Приклад:

Дана функція y=x2,x∈[0;+∞). Знайти зворотну функцію.

Задана функція зростає на проміжку [0;+∞), отже, вона має зворотну функцію. Із рівняння y=x2 знаходимо:  x=y√ або x=−y√. Проміжку [0;+∞) належать лише значення функції x=y√. Це і є зворотна функція, яка визначена на проміжку [0;+∞).

Помінявши місцями x и y, отримаємо: y=x√,x∈[0;+∞). Графік цієї функції виходить із графіка функції y=x2,x∈[0;+∞) з допомогою симетрії відносно прямоїy=x.

 

 

Джерела:

А. Г. Мордкович Алгебра та початок математичного аналізу 10 - 11 класи, 1 частина. М: 2009, 18 c.