Лінійна функція y=kx+m та її графік

Теорія:

Лінійна функція — це функція, яку можна задати формулою

y=kx+m, де x — незалежна змінна, k і m — деякі числа.

 

Застосовуючи цю формулу, знаючи конкретне значення x, можна обчислити відповідне значення y.

Нехай y=0,5x−2.

Тоді:

якщо  x=0, то y=−2;

якщо  x=2, то y=−1;

якщо  x=4, то y=0 і т. д.

 

Зазвичай ці результати оформляють у вигляді таблиці:

x	0	2	4
y	−2	−1	0

x - незалежна змінна (або аргумент),

y - залежна змінна.

Графіком лінійної функції y=kx+m є пряма.

Щоб побудувати графік даної функції, нам потрібні координати двох точок, що належать графіку функції.

 

Побудуємо на координатній площині xOy точки (0;−2) і (4;0) і

проведемо через них пряму.

 

 

Багато реальних ситуацій описуються математичними моделями, що представляють собою лінійні функції.

Приклад:

На складі було 500 т вугілля. Щодня почали підвозити по 30 т вугілля. Скільки вугілля буде на складі через 2; 4; 10 днів?

 

Якщо мине x днів, то кількість y вугілля на складі (у тоннах) можна виразити формулою y=500+30x.

 

Таким чином, лінійна функція y=30x+500 є математичною моделлю ситуації.

За x=2 маємо y=560;

за x=4 маємо y=620;

за x=10 маємо y=800 і т. д.

 

Однак треба враховувати, що в цій ситуації x∈N.

Якщо лінійну функцію y=kx+m треба розглядати не за всіх значень x, а лише для значень x із деякої числової безлічі X, то пишуть y=kx+m,x∈X.

Приклад:

Побудувати графік лінійної функції:

a) y=−2x+1,x∈[−3;2]  b) y=−2x+1,x∈(−3;2)

 

Складемо таблицю значень функції:

x	−3	2
y	7	−3

 

Побудуємо на координатній площині xOy точки (−3;7) і (2;−3) і
проведемо через них пряму.

 

Далі виділимо відрізок, що з'єднує побудовані точки.
Цей відрізок і є графіком лінійної функції y=−2x+1,x∈[−3;2].

Точки (−3;7) і (2;−3) на рисунку відзначені темними кружечками.

 

 

b) У другому випадку функція та сама, тільки значення x=−3 і x=2 не розглядаються, оскільки вони не належать інтервалу (−3;2).
Тому точки (−3;7) і (2;−3) на рисунку відзначені світлими кружечками.

 

 

Розглядаючи графік лінійної функції на відрізку, можна назвати найбільше і найменше значення лінійної функції.

 

У випадку

a) y=−2x+1,x∈[−3;2] маємо, що yнайб=7 і yнайм=−3,

b) y=−2x+1,x∈(−3;2) маємо, що ні найбільшого, ні найменшого значень лінійної функції немає, оскільки обидва кінці відрізка, у яких саме й досягалися найбільше і найменше значення, виключені з розгляду.

 

У ході побудови графіків лінійних функцій, можна ніби «підніматися в гору» або «спускатися з гірки», тобто лінійна функція або зростає або спадає.

Якщо k>0, то лінійна функція  y=kx+m зростає;

якщо k<0, то лінійна функція y=kx+m спадає.

 

Джерела:

Мордкович А.Г. Алгебра.  7 класс.

В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений

М.: Мнемозина, 2009.