Метод інтервалів

Теорія:

Часто зручно при розв'язанні квадратних нерівностей використовувати метод інтервалів.

Розглянемо етапи методу інтервалів:
- знаходять корені квадратного тричлена ax2+bx+c і розкладають на множники;
- відзначають на числовій прямій корені тричлена і знаходять знаки квадратного тричлена на кожному інтервалі;
- обирають інтервал, відповідний знаку нерівності і записують відповідь.

Приклад:

Розв'язати нерівність. 2x2−7x−4≤0

Розв'язання. Знайдемо корені квадратного тричлена 2x2−7x−4 

і розкладемо його на множники за формулою ax2+bx+c=a(x−x1)(x+x1)

2x2−7x−4=0D=b2−4ac=(−7)2−4⋅2⋅(−4)=49+32=81x1=−b−D−−√2a=−(−7)−81−−√2⋅2=7−94=−24=−12=−0,5x2=−b+D−−√2a=−(−7)+81−−√2⋅2=7+94=164=42x2−7x−4=2(x+0,5)(x−4)2(x+0,5)(x−4)=0|:2(x+0,5)(x−4)=0x1=−0,5x2=4

 

Зазначимо на числовій прямій корені і знайдемо знаки квадратного тричлена на кожному інтервалі.
Для цього з кожного інтервалу достатньо взяти довільно по одному значенню і підставити замість x в тричлен.

На інтервалі (−∞;−0,5] візьмемо x=−2, тоді 2⋅(−2)2−7⋅(−2)−4=2⋅4+14−4=18>0

 

На інтервалі [−0,5;4] візьмемо x=0, тоді 2⋅02−7⋅0−4=0−0−4=−4<0

 

На інтервалі  [4;+∞) візьмемо x=5, тоді 2⋅52−7⋅5−4=2⋅25−35−4=50−39=11>0

 

Квадратний тричлен приймає від'ємні і рівні нулю значення на інтервалі [−0,5;4].

Відповідь: −0,5≤x≤4