Розкладання многочлена на множники за допомогою комбінацій різних прийомів

Теорія:

Розкласти многочлен на множники можна, застосовуючи послідовно декілька способів.

 

Зручно застосовувати такий порядок:
- якщо є спільний множник, то винести його за дужку;
- розкласти многочлен на множники за допомогою формул скороченого множення, якщо це можливо
(у многочлені два або три одночлени):

a2−b2=(a−b)⋅(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a2+2ab+b2=(a+b)2a2−2ab+b2=(a−b)2

- спробувати розкласти на множники способом групування.

Завдання. Розкласти многочлен на множники.

Приклад:

3z5t3−24z3t4+48zt5

  

Розв'язання: Розглянемо коефіцієнти 3, 24 і 48.

Усі вони діляться на 3, це найбільший спільний дільник, і його можна винести його за дужки.

 

z5,z3 і z  діляться на z , тому за дужки можна винести z.

 

t3,t4 і t5 діляться на t3 — за дужки можна винести t3.

 

Отже, за дужки можна винести 3zt3.

3z5t3−24z3t4+48zt5=3zt3(z4−8z2t+16t2)=3zt3(z2−4t)2.

У дужках використовували формулу скороченого множення (квадрат різниці).

 

Застосували два способи:
- винесення загального множники за дужки;
- використання формули скороченого множення — квадрат різниці.
 

Завдання. Розкласти многочлен на множники.

Приклад:

c2−a2−2ab−b2

  

Розв'язання: c2−a2−2ab−b2=c2−(a2+2ab+b2)=c2−(a+b)2==(c−(a+b))(c+(a+b))=(c−a−b)(c+a+b)

 

Застосували два способи:
- спосіб групування;
- використання формул скороченого множення: квадрат суми та різниця квадратів

Завдання. Розкласти многочлен на множники.

Приклад:

a3−5a2+10a−8

 

Розв'язання: a3−5a2+10a−8=(a3−8)+(−5a2+10a)==(a3−8)+(−5a2+10a)=(a3−22)+(−5a2+10a)==(a−2)(a2+2a+4)−5a(a−2)=(a−2)((a2+2a+4)−5a)==(a−2)(a2+2a+4−5a)=(a−2)(a2−3a+4)

 

Застосували три способи:
- спосіб групування;
- винесення спільного множника за дужки;
- використання формули скороченого множення — різниця кубів.