Метод виділення повного квадрата

Теорія:

Метод виділення повного квадрата заснований на використанні формул:

a2+2ab+b2=(a+b)2a2−2ab+b2=(a−b)2

Виділення повного квадрата — це таке тотожне перетворення,
за якого заданий тричлен представляється у вигляді  (a±b)2 —

суми або різниці квадрата двочлена та деякого числового або літерного вираження.

Розв'язати рівняння x 2+ 14x + 45 = 0 .
Вирішення: Розкладемо многочлен на множники методом виділення повного квадрата. Для застосування першої формули необхідно отримати вираз

Приклад:

x2+ 14x + 49 = 0.

Тому додамо й віднімемо від многочлена x2+ 14x + 45 число 4, щоб виділити повний квадрат.

 x 2+ 14x + 45+4−4 =0  (x 2+ 14x + 45+4)−4=0(x 2+ 14x + 49)−4=0(x+7)2−4=0

Застосуємо формулу різниці квадратів: a2−b2=(a−b)⋅(a+b)

 (x+7)2−22=0( x + 7 – 2 ) ( x + 7 + 2 ) = 0( x + 5 ) ( x + 9 ) = 0x + 5 = 0             x + 9 = 0x1 = – 5                   x2 = – 9
Відповідь: –9;–5.

 

Приклад:

Розв'язати рівняння x2 − 6x − 7 = 0

Розв'язання: Виділимо в лівій частині повний квадрат.
Для застосування другої формули необхідно отримати вираз:

x2 − 6x +9 = 0.
Тому запишемо вираз x2 − 6x у такому вигляді:x2−6x =x2−2⋅x⋅3.
В отриманому виразі перший доданок – квадрат числа x, а другий – подвоєний добуток x на 3.
Щоб здобути повний квадрат, треба додати 32.
Отже, додамо й віднімемо в лівій частині рівняння 32, щоб виділити повний квадрат.

x2 − 6x − 7 = x2 − 2⋅ x ⋅3 + 32 − 32 − 7 = (x2 − 2⋅ x ⋅3 + 32 ) − 32 − 7 ==(x − 3)2 − 9 − 7 = (x − 3)2 − 16.

Підставимо в рівняння і застосуємо формулу a2−b2=(a−b)⋅(a+b).

(x −3)2−16=0(x −3)2=16x −3=4x −3= −4x=3+4x = 3−4x1=7x2= −1
Відповідь:–1;7.