Розкладання многочлена на множники за допомогою формул скороченого множення

Теорія:

Многочлен можна розкласти на множники за допомогою формул скороченого множення, записаних у вигляді:

a2−b2=(a−b)(a+b) (різниця квадратів)

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2) (різниця кубів)

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2) (сума кубів)

a2+2ab+b2=(a+b)2 (квадрат суми)

a2−2ab+b2=(a−b)2 (квадрат різниці)

Зауважте, що в лівій частині два або три члени.
Розглянемо на прикладах.

Приклад:

Завдання 1. Розкласти на множники:

16x2−9.

Розв'язання: Скористаємося формулою різниці квадратів:

16x2−9=(4x)2−32=(4x−3)(4x+3)

 

Завдання 2. Розкласти на множники:

27a3−8b3.

Розв'язання: Скористаємося формулою різниці кубів:

27a3−8b3=(3a)3−(2b)3=(3a−2b)((3a)2+3a⋅2b+(2b)2)==(3a−2b)(9a2+6ab+4b2).

 

Завдання 3. Розкласти на множники:

x12+27y3.
Розв'язання: Скористаємося формулою суми кубів:

x12+27y3=(x4)3+(3y)3=(x4+3y)⋅((x4)2−x4⋅3y+(3y)2)==(x4+3y)(x8−3x4y+9y2).

 

Завдання 4. Розкласти на множники:

a4+2a2+1.

Розв'язання: Скористаємося формулою квадрата суми:
a4+2a2+1=(a2)2+12+2⋅a2⋅1=(a2+1)2

 

Завдання 5. Розкласти на множники:

g2−4gp+4p2.
Розв'язання: Скористаємося формулою квадрата різниці: g2−4gp+4p2=g2+(2p)2−2⋅g⋅2p=(g−2p)2

 

Джерела:

Мордкович А.Г. Алгебра. 7 кл.: Учеб. для общеобра-
зоват. учреждений. 4-еизд., испр.  — Мнемозина, 2001. — 160 с: ил.