Властивості функцій

Теорія:

Дослідження функції на монотонність

Функцію y=f(x) називають зростаючої на множині X⊂D(f), якщо для будь-яких точок x1 та x2 множини X таких, що x1<x2 виконується нерівність f(x1)<f(x2).

 

Функцію y=f(x) називають убуваючою на множині X⊂D(f), якщо для будь-яких точок x1 та x2 множини X таких, що x1<x2 виконується нерівність f(x1)>f(x2).

Зверни увагу!

Іншими словами:
функція зростає, якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції;
функція спадає, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.

Дослідження функції на обмеженість

Функцію y=f(x) називають обмеженою знизу на множині X⊂D(f), якщо всі значення цієї функції на множині X більші за деяке число; іншими словами, якщо існує число m таке, що для будь-якого значення x∈X виконується нерівність f(x)>m.

 

Функцію y=f(x) називають обмеженою зверху на множині X⊂D(f), якщо всі значення цієї функції на множині X менші за деяке число; іншими словами, якщо існує число m таке, що для будь-якого значення x∈X виконується нерівність f(x)<M.

Найменше та найбільше значення функції

Число m називають найменшим значенням функції y=f(x) на множині X⊂D(f), якщо
1) існує точка x0∈X, така що f(x0)=m;

2) для будь-якого значення x∈X виконується нерівність f(x)≥f(x0).

 

Число M називають найбільшим значенням функції y=f(x) на множині X⊂D(f), якщо
1) існує точка x0∈X, така що f(x0)=M;

2) для будь-якого значення x∈X виконується нерівність f(x)≤f(x0).

Позначення

yнайм найменше значення функції

yнайб найбільше значення функції

1) Якщо у функції існує yнайм, то вона обмежена знизу.

2) Якщо у функції існує yнайб, то вона обмежена зверху.

3) Якщо функція не обмежена знизу, то у неї не існує yнайм.

4) Якщо функція не обмежена зверху, то у неї не існує yнайб.

Нулі функції

Нулем функції y=f(x) називається таке значення аргументу x0, при якому функція звертається в нуль.

Джерела:

А. Г. Мордкович, П. В. Семёнов Алгебра. 9 класс.. М: 2010, 97 c.