Навіщо розкладати на множники

Теорія:

Розкласти многочлен на множники — це означає, представити многочлен у вигляді добутку двох або декількох множників.

Наприклад, x2+ 14x + 45  многочлен представлений у вигляді суми одночленів. Після розкладання на множники многочлен виглядє (x+5)(x+9), де x+5 і x+9 є множниками.

Приклад:

Завдання. Розкласти число 36 на два множники різними способами.

Вирішення:

36 = 2⋅1836 = 3⋅1236 = 4⋅9

 

Для розкладання многочлена на множники використовують такі способи.

 

1. Винесення загального множника за дужки

Приклад:

Завдання. Розкласти на множники многочлен 7a–7b.

Розв'язання:

7a–7b=7(a–b)
Винести загальний множник за дужки, отримати добуток двох множників 7 і a−b

2. Застосування формул скороченого множення

Приклад:

Завдання. Розкласти на множники многочлен.

Розв'язання:

9x2−25y2=32x2−52y2=(3x)2−(5y)2=(3x−5y)(3x+5y)

 

3. Метод групування 

Приклад:

Завдання. Розкласти на множники многочлен.

Розв'язання:

35ab+7a−5b−1=(35ab−5b)+(7a−1)=5b(7a−1)+(7a−1)=(7a−1)(5b+1)

 

Уміння розкладати на множники необхідне для перетворення виразів, при скороченні алгебраїчних дробів, вирішення рівнянь і нерівностей.

Приклад:

Завдання. Спростити вираз.

Розв'язання:

25−a2(5+a)(13−a)=52−a2(5+a)(13−a)=(5−a)(5+a)(5+a)(13−a)=5−a13−a

- у чисельнику застосували формулу «різниця квадратів»;
- скоротили дріб до виразу 5+а.

Приклад:

Завдання. Розв'язати рівняння.

4x2+8x−x−2=0(4x2−x)+(8x−2)x(4x−1)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯+2(4x−1)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=0(4x−1)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(x+2)=0

4x−1=04x=1x1=0,25 чи x+2=0x=−2x2=−2

Відповідь: −2;0,25

- Згрупували;
- винесли загальні множники за дужки в кожних дужках;
- винесли загальні множники доданків за дужки.

 

Перераховані вище способи детальніше розглянемо далі, в окремих темах.

 

Джерела:

Мордкович А.Г. Алгебра. 7 кл.: Учеб. для общеобра-
зоват. учреждений. 4-еизд., испр.  — Мнемозина, 2001. — 160 с: ил.