Властивість чергування знаків

Теорія:

Якщо функція задана формулою виду f(x)=(x−x1)(x−x2)...(x−xn),

де  x — змінна, а x1,x2,...,xn — числа, що не дорівнюють одне одному,
числа які є нулями функції, то в кожному з проміжків, на які область визначення розбивається нулями функції, знак функції зберігається, а при переході через нуль її знак змінюється.

Ця властивість використовується для розв'язання нерівностей.

 

Приклад:

Розв'язати нерівність (x−6)(x+2)<0

 

Знайдемо нулі функції.

Прирівняємо до нуля ліву частину і розв'яжемо рівняння пам'ятаючи, що
добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю.

(x−6)(x+2)=0x−6=0x+2=0x1=6x2=−2

 

Позначимо на координатній прямій нулі функції і знайдемо знаки функції на кожному проміжку.
Досить знати, який знак має функція в одному з цих проміжків, і, користуючись властивістю чергування знаків, визначити знаки у всіх інших проміжках.

                                     −2                                                  6                                  x

 

На інтервалі (−2;6) візьмемо x=0, тоді  (0−6)⋅(0+2)=−12<0

На двох інших проміжках функція приймає додатні значення.

Розв'язати дану нерівність — це означає відповісти на запитання, за яких значень x функція приймає від'ємні значення,
значить, розв'язком нерівності є множина значень x з проміжку (−2;6).

 

Відповідь: x∈(−2;6).

 

Джерела:

Алrебра: Підруч для 9 кл загальноосвіт. закладів/ Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. І. Нешков,

С. Б. Суворова; під ред. С. А. Теляковськоrо. ¬ 5¬e вид. ¬ М.: 2000. ¬272 стор.: іл.