Розв'язання раціональних нерівностей методом інтервалів

Теорія:

Раціональною нерівністю з однією змінною x називають нерівність виду f(x)<g(x), де f(x) і g(x) — раціональні вирази, тобто алгебраїчні вирази, складені з чисел, змінної x і за допомогою математичних дій,
тобто операцій додавання, віднімання, множення, ділення і піднесення до натурального ступеня.

 

При розв'язанні раціональних нерівностей застосовують правила, які використовуються при розв'язанні лінійних і квадратних нерівностей. 

 

За допомогою рівносильних перетворень раціональну нерівність призводять до вигляду h(x)<0, де h(x) — алгебраїчний дріб або многочлен і застосовують метод інтервалів.

 

Приклад:

Розв'язати нерівність. x2+32x2−7x−4>0

Розв'язання.

1. Знайдемо корені квадратного тричлена 2x2−7x−4
і розкладемо його на множники за формулою ax2+bx+c=a(x−x1)(x+x1)

2x2−7x−4=0D=b2−4ac=(−7)2−4⋅2⋅(−4)=49+32=81x1=−b−D−−√2a=−(−7)−81−−√2⋅2=7−94=−24=−12=−0,5x2=−b+D−−√2a=−(−7)+81−−√2⋅2=7+94=164=42x2−7x−4=2(x+0,5)(x−4)2(x+0,5)(x−4)=0|:2(x+0,5)(x−4)=0x1=−0,5x2=4

 

2. Розділимо обидві частини нерівності на додатний при всіх значеннях x
вираз x2+3, при цьому знак нерівності > не зміниться.

x2+3(x+0,5)(x−4):(x2+3)>0:(x2+3)x2+3(x+0,5)(x−4)⋅1x2+3>0(x2+3)⋅1(x+0,5)(x−4)⋅(x2+3)>01(x+0,5)(x−4)>0

 

3.Позначимо на числовій прямій корені і знайдемо знаки квадратного тричлена на кожному інтервалі.
Для цього з кожного інтервалу достатньо взяти довільно по одному значенню і підставити замість x у тричлен.

На інтервалі (−∞;−0,5) візьмемо x=−2, тоді 2⋅(−2)2−7⋅(−2)−4=2⋅4+14−4=18>0

На інтервалі  (−0,5;4) візьмемо x=0, тоді 2⋅02−7⋅0−4=0−0−4=−4<0

На інтервалі (4;+∞) візьмемо x=5, тоді 2⋅52−7⋅5−4=2⋅25−35−4=50−39=11>0

 

Квадратний тричлен приймає додатні значення на інтервалах (−∞;−0,5) і (4;+∞).

 

Відповідь: (−∞;−0,5)і(4;+∞)