Т

ТАНГЕНС [латинське tangens – той, що дотикається, tango – дотикаюсь] – назва однієї з основних тригонометричних функцій. Тангенсом гострого кута a (tg а) прямокутного трикутника є відношення катета, що лежить проти цього кута, до другого катета. При цьому tg a = ^{sin a}/_{cos a} . Ця функція непарна, періодична з найменшим періодом п. Таблиці тангенсів зустрічаються в астрономічному трактаті ал-Хорезмі (IX ст.)

Графік функції у = tg x, називають тангенсоїдою. Він складається з безлічі окремих віток, які перетинають вісь X у точках х =пn і мають асимптоти, перпендикулярні до осі X у точках х=(п+½)π

При х=(п+½)π  функція tg х неозначена. Графік тангенса для першої чверті кола зобразили Дж. Грегорі (1668) і І. Барроу (1674). Для двох обертів його побудував Р. Котс.

ТЕОРЕМА [грецьке (theorema), (theoreo) –. придивляюсь, спостерігаю] –  твердження, правдивість якого перевіряють за допомогою логічних міркувань, що спираються на аксіоми або на раніше доведені твердження, або на ті і другі. Міркування, що виявляють справедливість теореми, називають доведенням. У формулюванні теореми розрізняють дві частини: умову теореми (те, що дано) і висновок (те, що треба довести). Теорему називають оберненою до даної, якщо її умова є висновком, а висновок –умовою даної теореми. Наприклад, твердження: якщо квадрат однієї сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін, то цей трикутник прямокутний, є теоремою,, оберненою до теореми Піфагора. Проте не кожна обернена теорема справедлива. Наприклад, не буде справедливою теорема, обернена до такої: якщо число закінчується цифрою 5, то воно ділиться на 5. Якщо справедлива якась теорема і їй обернена, то ці теореми, називають взаємно оберненими. Справедливість умови будь-якої з них не тільки достатня, а й необхідна для справедливості   висновку. Теорему, умова і висновок якої є запереченнями умови і висновку даної, називають протилежною даній. Протилежна теорема рівносильна оберненій, а теорема, обернена до протилежної, рівносильна даній (прямій).

Теорему, в якій установлюється необхідна і достатня умова, при виконанні якої справедливий висновок теореми, називають іноді критерієм.

ТЕОРІЯ [від грецького (theoria) – спостереження, дослідження] – розділ якоїсь науки або наука, всі висновки якої об'єднані певними (спільними) ідеями, положеннями або випливають з певної системи аксіом. Наприклад, у математиці теорія ймовірностей, теорія чисел, теорія апроксимації тощо.

ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ – розділ математики, що вивчає закономірності, яким підлягають випадкові події масового характеру. Основними поняттями теорії ймовірностей є поняття випадкової події і поняття ймовірності. Так, коли підкидають монету над підлогою, за однако­вих умов однаково можливі дві події: або монета впаде догори гербом, або протилежною стороною. Кажуть, що ймовірність кожної з цих подій дорівнює 0,5. Якщо кидати монету багато разів, то частота появи герба буде коливатись навколо 0,5, причому межі коливань звужу­ватимуться із зростанням числа випробувань. При обчисленнях імовірностей у найпростіших випадках широко використовують комбінаторику.

Теорія ймовірностей зародилася в XVI-XVII ст. із спроб дати теорію азартних ігор. Перші розрахунки ймовірностей проводили Н.Тарталья і Дж.Кардано, пізніше цими питаннями займались Г.Галілей, П.Ферма, Б.Паскаль, X. Гюйгенс, Р.Декорт. Важливу теорему (закон великих чисел), що сприяла розвитку теорії ймовірностей як науки, знайшов Я.Бернуллі. Його результати розвинули А.Муавр і П.Лаплас. Виключно важливу роль у розвитку теорії, ймовірностей мали відкриття П.Л.Чебишова та його учнів.  З теорією ймовірностей тісно  пов'язана математична статистика – розділ математики, в якому за допомогою математичних методів систематизують, опрацьовують і застосовують статистичні дані для наукових і практичних висновків.

Теорія ймовірностей знаходить дедалі ширші застосування в багатьох питаннях математики, фізики, техніки економіки, біології, військової справи та ін.

ТЕТРАЕДР [від грецьких (tettares) –  чотири, у складних словах (tetra-) і  (hedra) – основа, поверхня, сторона] –  чотиригранник, усі грані якого трикутники, трикутна піраміда. Має 6 ребер, 4 вершини, у кожній вершині сходяться 3 ребра.

ТІЛА АРХІМЕДА. Так називають: кулю радіуса R, циліндр висотою 2R і радіусом основи R і конус, радіус основи якого R, а висота 2R. їх об'єми відносяться як 2:3:1; отже, в цьому випадку об'єм циліндра дорівнює сумі об'ємів кулі і конуса. Це встановив Архімед.

ТРАЄКТОРІЯ [від латинського trajectorius – той, що стосується переміщення] – лінія руху матеріальної точки (тіла). Наприклад, траєкторія польоту тіла, кинутого в пустоті під кутом до горизонту, є парабола, а в повітрі –  балістична крива [від грецького (ballo) –  кидаю], вивченням якої займається спеціальна галузь науки – балістика. Траєкторією точки кола, яке котиться по прямій без ковзання, є циклоїда. Траєкторії руху планет сонячної системи є еліпси; деякі комети рухаються по параболічних і гіперболічних траєкторіях. Багато ліній у математиці зручно розглядати як траєкторії руху точки на площині або в просторі.

ТРАНСПОРТИР [від латинського transportare – пере­носити] – прилад для вимірювання і відкладання кутів. Основною частиною транспортира є півколо, поділене на 180 частин – градусів. Якщо поділки дано в радіанах, то маємо радіанний транспортир.

Застосовують також процентний транспортир, кожна поділка якого становить соту частину (процент) усього кола; за його допомогою зручно будувати секторні діа­грами.

ТРАПЕЦІЯ [від грецького (trapedza) – стіл або (trapedzion) – столик] – чотирикутник, дві сторони якого паралельні (основи трапеції), а дві інші (бічні) не паралельні. Відрізок, що сполучає середини непаралельних сторін трапеції; називається середньою лінією трапеції і дорівнює півсумі основ. Площа трапеції дорів­нює добутку середньої лінії на висоту – відстань між основами. Трапеція з рівними бічними сторонами нази­вається рівнобедреною. Близьку до трапеції форму мають поперечні перерізи різних деталей, споруд (каналів, гре­бель) тощо.

ТРИГОНОМЕТРІЯ [від грецьких (trigonon) – трикутник або (metreo) – міряю, вимірюю] – буквально вимірювання трикутників. Так називається математична дисципліна, яка вивчається в середній школі. Її зміст охоплює вчення про тригонометричні функції і їх застосування до роз взування трикутників. Історія тригонометрії починається задовго до початку нашої ери. її розвиток тісно пов'язаний з потребами практики, особливо астрономії. Вже стародавні єгиптяни, як це видно з папіруса Ахмеса (XX- XVII ст. до н.є.), користувались відношенням між половиною діагоналі основи правильної чотирикутної піраміди і її бічним ребром, тобто косинусом кута, утвореного бічним ребром з площиною основи. Вавілонські вчені ще у XVIII ст. до н. є. передбачали затемнення Сонця і Місяця, для чого, безперечно, потрібні були деякі відомості з тригонометрії. Вавілонянам належить поділ кола на 360 частин, а їх шістдесяткова система числення довго панувала в тригонометрії. Потреби астрономії сприяли тому, що спочатку розвивалась сферична тригонометрія, а вже потім тригонометрія на площині. Окремі теореми триго­нометрії на площині є в «Началах» Евкліда (кн. II). Але основоположником тригонометрії вважається Гіппарх (II ст. до н.є.). Він склав перші таблиці хорд, що були за сучасною термінологією таблицями подвійних синусів половини центрального кута. Визначна заслуга в справі дальшого розвитку тригонометрії належить К. Птолемею з Александрії (II ст. н. є.), який у своєму творі «Велика побудова» («Альмагест») дав таблицю хорд для кутів від 0^о до 180°. В «Альма-гесті» вперше зустрічаються знаки для позначення мінут ' і секунд ". Знак ° з'явився пізніше. Греки знали теореми, що давали їм можливість знаходити результати, які тепер дістають за допомогою формул синуса суми, різниці двох кутів і синуса половини кута.

Після занепаду грецької культури значних результатів у розвитку тригонометрії досягли індійці.  Таблиці, складені ін­дійцями, були досить точними.

Наступний  етап у розвитку  тригонометрії  зв'язаний з   утворенням  Арабського  халіфату,   до  якого  ввійшли держави Середньої Азії, Близького Сходу, Північної Африки і Піренеїв. Видатна роль у розвитку  математичної науки в Арабському  халіфаті з IX по XV ст. належала народам Середньої Азії і Закавказзя. Розвиток тригоно­метрії починається з перекладів на арабську мову праць грецьких і  індійських   учених. Один  з  перших  відомих творів з тригонометрії належить ал-Хорезмі (IX ст.), якому були відомі поняття тангенса і котангенса.   Його сучас­ник ал-Марвазі (ал-Хабаш) склав таблиці тангенса і котан­генса, а також використовував поняття косеканса і склав для нього таблицю через 1°. Ал-Баттані (IX-X ст.) си­стематично   використовує  тригонометричні лінії,  розгля­даючи синус  від 0 до 180°.

В Європі Брадвардін (перша половина XIV ст.) перший застосував котангенс (umbra recta – пряма тінь) і тангенс (umbra versa – обернена тінь). У XV ст. Г. Пурбах склав но­ві таблиці синусів і тангенсів.

Дальшому розвитку тригонометрії сприяло багато ви­датних учених: М.Копернік, Ф.Вієт, Дж.Непер, Г.Брігс і багато інших. Термін «тригонометрія» зустрічається вперше в заголовку праці Б.Пітіскуса (1595), яку можна вважати першим підручником з тригонометрії.

Величезний внесок у тригонометрію зробив Л.Ейлер. У «Вступі до аналізу» (1748) він, вивівши всі формули три­гонометрії з кількох основних, поклав початок аналітичній науці про тригонометричні функції. Ейлер встановив зв'я­зок тригонометричних функцій з показниковими (у ком­плексній області), дав загальну формулу зведення кутів до найменшого аргумента і т. д. Праці Ейлера стали науковою основою для створення передових для того часу підручни­ків з тригонометрії, від яких мало відрізняються сучасні.

ТРИКУТНИК – многокутник з трьома сторонами, тобто частина площини, обмежена замкненою ламаною лінією, яка складається з трьох відрізків пря­мої (іноді сама ця ламана); одна з основних фігур у гео­метрії. Трикутник з вершинами А, В і С позначають ΔABC. Трикутники класифікують за сторо­нами (рівносторонні, або правильні, рівнобедрені, різносторонні) або за величиною кутів (гострокутні, прямокутні, тупокутні). У трикутнику розглядають: висоти (відрізки перпендикулярів, проведених з вершин трикутника до відповідних сторін або до їх продовжень), медіани, бісек­триси, середні лінії, а також точку перетину висот (ортоцентр), медіан (барицентр), бісектрис (центр впи­саного кола) тощо. Площа трикутника дорівнює половині добутку однієї з його сторін на відповідну висоту. Трикутники і їх теорія мають важливе теоретичне і практичне значення. Завдяки жорсткості трикутників їх форму мають елементи майже кожної будівельної кон­струкції. Основні властивості трикутника і його елементів були відомі ще в стародавні часи і систематично викла­дені в «Началах» Евкліда.

ТРИКУТНИК ЄГИПЕТСЬКИЙ – прямокутний трикутник з сторонами 3, 4 і 5  (див. Піфагорові  числа).   Вважають, що єгипетські землеміри будували прямі кути за допомогою вірьовки з 12 вузлами на ній, однаково віддаленими один від одного. Мабуть, тому і самі землеміри називалися гарпедонаптами, що  в дослівному перекладі означає – натягувачі вірьовки. В окремих випадках таким прийомом побудови прямого кута користуються ще й тепер.

ТРИКУТНИК ПАСКАЛЯ,   або  арифметичний  трикутник, – числова таблиця з біноміальних коефіцієнтів, яка має форму рівнобедреного (або прямокутного) трикутника. Кожний рядок фігури починається і закінчується одиницею, а інші його числа утворюються додаванням двох сусідніх чисел  попереднього рядка.   Рядок з номером п+1 містить послідовні біноміальні коефіцієнти для показника п. Є підстави вважати, що цей трикутник  був відомий індійцям ще в  II ст. до н.є., а китайцям – у VIII ст. н.є. Він зустрічається також у Омара Хайяма (XI-XII ст.). Його знову відкрив Б. Паскаль (1654) і подав у книзі «Трактат про арифметичний трикутник» (опублікована посмертно в 1665 p.), звідки й пішла назва «Трикутник Паскаля». 

                 1

               1  1

             1  2  1

           1  3  3   1

        1   4   6   4  1

      1  5  10  10  5  1

   1  6  15  20  15  6  1