Невизначеність ∞ - ∞

Теорія:

Якщо потрібно обчислити границю  limx→a(g(x)−h(x)), де функції g(x) і h(x) наближаються до нескінченності, (тобто, існує невизначеністьь ∞−∞), цю різницю можна перетворити в невизначеність 00 таким чином (якщо неможливо обчислити границю більш простим способом):

limx→a(g(x)−h(x))=limx→a⎛⎝11g−11h⎞⎠=limx→a(1h)−(1g)(1g)⋅(1h)

Приклад:

1.

limx→1(1lnx−1x−1)=limx→1(x−1)−lnxlnx⋅(x−1)=(00)=limx→1(x−1−lnx)'((x−1)lnx)'==limx→11−1xlnx+(x−1)⋅1x=limx→1x−1xlnx+x−1=(00)=limx→1(x−1)'(xlnx+x−1)'==limx→1 1lnx+1+1=12

 

2.

limx→0(1sinx−1x)=limx→0x−sinxxsinx=(00)=limx→0(x−sinx)'(xsinx)'==limx→01−cosxsinx+xcosx=(00)=limx→0(1−cosx)'(sinx+xcosx)'==limx→0sinxcosx+cosx−xsinx=0