Квадратична функція

Теорія:

Функція y=kx2 та її графік

У 7-му класі ми вивчали функції у=m, у=kx, у=kx+m, y=x2 і прийшли в результаті до висновку про те, що рівняння з двома змінними виду у=f(x) (функція) є математична модель, зручна для того, щоб, задавши конкретне значення незалежної змінної x (аргументу), обчислити відповідне значення залежної змінної y.

 

Насправді функція y=kx2 в одному випадку нам трохи знайома. Дивися: якщо k=1, то отримуємо y=x2; цю функцію ми вивчили в 7-му класі і ти, напевно, пам'ятаєш, що її графіком є парабола.

 

 

Обговоримо, що відбувається при інших значеннях коефіцієнта k.
Розглянемо дві функції: y=2x2 та y=0.5x2. Складемо таблицю значень для першої функціїy=2x2:

 

x	0	1	−1	2	−2	1.5	−1.5
y	0	2	2	8	8	4.5	4.5

 

Побудуємо точки (0;0),(1;2),(−1;2),(2;8),(−2;8),(1,5;4,5),(−1,5;4,5) на координатній площині; вони намічають деяку лінію, проводимо її.

 

 

Складемо таблицю значень для другої функції y=0.5x2:

 

x	0	1	−1	2	−2	3	−3
y	0	0.5	0.5	2	2	4.5	4.5

 

Побудуємо точки (0;0),(1;0,5),(−1;0,5),(2;2),(−2;2),(3;4,5),(−3;4,5) на координатній площині; вони намічають деяку лінію, проводимо її.

 

 

Порівняй отримані малюнки. Чи не правда, проведені лінії схожі? Кожну з них називають параболою.

Точку (0;0) називають вершиною параболи, а вісь y — віссю симетрії параболи.

Зверни увагу!

Від величини коефіцієнта k залежить «швидкість прагнення» гілок параболи вгору або, як ще кажуть, «ступінь крутизни» параболи.

Точно так само з будь-якої іншої функцією виду y=kx2, де k>0.

Графіком її є парабола з вершиною в початку координат, гілки параболи спрямовані вгору, причому тим крутіше, чим більше коефіцієнт k.
Вісь y є віссю симетрії параболи.

 

Доречі, заради стислості промови математики часто замість довгої фрази «парабола, що служить графіком функції y=kx2», говорять «парабола y=kx2», а замість терміна «вісь симетрії параболи» використовують термін «вісь параболи».

 

Ти помічаєш, що мається аналогія з функцією у=kx?

Якщо k>0, то графіком функції у=kx є пряма, через початок координат (пам'ятаєш, ми говорили коротко: пряма у=kx), причому і тут від величини коефіцієнта k залежить «ступінь крутизни» прямої. Це добре видно на малюнку, де в одній системі координат зображені графіки лінійних функцій у=kx при трьох значеннях коефіцієнта k.

 

 

Повернемося до функції y=kx2. З'ясуємо, як є справа у випадку негативного коефіцієнта k. Побудуємо, наприклад, графік функції y=−x2 (тут k=−1). Складемо таблицю значень:

 

x	0	1	−1	2	−2	3	−3
y	0	−1	−1	−4	−4	−9	−9

 

Побудуємо точки (0;0),(1;−1),(−1;−1),(2;−4),(−2;−4),(3;−9),(−3;−9) на координатній площині; вони намічають деяку лінію, проводимо її.

 

 

Це парабола з вершиною в точці (0;0), вісь y — вісь симетрії, але на відміну від випадку, коли k>0, на цей раз гілки параболи спрямовані вниз. Аналогічно йде справа і для інших негативних значень коефіцієнта k.

 

Зверни увагу!

Отже, графіком функції y=kx2 k≠0 є парабола з вершиною на початку координат; вісь y є віссю параболи; гілки параболи спрямовані вгору при k>0 і вниз при k<0.

Відзначимо ще, що парабола y=kx2 доторкається до осі x в точці (0;0), тобто одна гілка параболи плавно переходить в іншу, як би притискаючись до осі x.

 

Если побудуваті в одній сістемі координат графіки функцій  y=kx2 та y=−x2, то неважко помітити, що ці параболи симетричні одна одній щодо осі x, що добре видно на малюнку.

 

 

Так само симетричні одна одній щодо осі x параболи y=2x2 та  y=−2x2.

 

 

Зверни увагу!

Взагалі, графік функції у=−f(x) симетричний графіку функції у=f(x) щодо осі абсцис.

Джерела:

А. Г. Мордкович Алгебра. 8 класс. М: 2010, 84 c.