Властивості функцій

Теорія:

Властивості функцій y=kx2 при k>0

Описуючи властивості цієї функції, ми будемо спиратися на її геометричну модель — параболу

 

 

1. Так як для будь-якого значення x за формулою y=kx2 можна обчислити відповідне значення y, то функція визначена в будь-якій точці x (при будь-якому значенні аргументу x).

 

Коротше це записують так: область визначення функції є (−∞;+∞), тобто вся координатна пряма.

 

2. y=0 при x=0; у>0 при x≠0. Це видно і з графіку функції (він весь розташований вище осі x), але можна обґрунтувати і без допомоги графіка: якщо x≠0, тоді kx2>0 як добуток двох позитивних чисел k і x2.

 

3. y=kx2 — неперервна функція.

 

4.  yнайм=0 (досягається при х=0); yнайб не існує.

 

5. Функція y=kx2 зростає при x≥0 та убуває при x≤0.

 

В 7 класі процес перерахування властивостей функції ми називали читанням графіка. Процес читання графіка буде у нас поступово ставати все більш насиченим і цікавішим - у міру вивчення нових властивостей функцій. Ті п'ять властивостей, які перераховані вище, ми обговорювали в 7-му класі для вивчених там функцій. Додамо одну нову властивість.

Функцію у=f(x) називають обмеженою знизу, якщо всі значення функції більше деякого числа. Геометрично це означає, що графік функції розташований вище деякої прямої, паралельної осі x.

А тепер подивись: графік функції y=kx2 розташований вище прямої у=−1 (або у=−2, це неважливо) — вона проведена на малюнку.

 

 

Значить, y=kx2 (k>0) — обмежена знизу функція.   

 

Поряд з функціями, обмеженими знизу, розглядають і функції, обмежені зверху.

Функцію у=f(x) називають обмеженою зверху, якщо всі значення функції менше деякого числа. Геометрично це означає, що графік функції розташований нижче деякої прямої, паралельної осі x.

Чи мається така пряма для параболи y=kx2, де k>0? Ні. Це значить, що функція не є обмеженою зверху.

 

Отже, ми отримали ще одну властивість, додамо її до тих п'яти, що вказані вище.

 

6. Функція y=kx2 (k>0) обмежена знизу і не обмежена зверху.

 

7. Область значень функції y=kx2 (k>0) — промінь [0;+∞).

 

8. Функція випукла вниз.

Властивості функції y=kx2 при k<0

При описі властивостей цієї функції ми спираємося на її геометричну модель — параболу

 

 

1.Область визначення функції (−∞;+∞).

2. у=0 при х=0; у<0 при x≠0.

З. y=kx2 — неперервна функція.

4. yнайб=0 (досягається при х=0), yнайм не існує.

5. Функція зростає при x≤0, убуває при x≥0.

6. Функція обмежена зверху і не обмежена знизу.

7. Область значень функції y=kx2 (k<0) - промінь (−∞;0].

 

Використаний вище порядок ходів при перерахуванні властивостей функції не є законом, поки він склався хронологічно саме таким.

Джерела:

А. Г. Мордкович Алгебра. 8 класс. М: 2010, 84 c.