Додавання і віднімання алгебраїчних дробів

Теорія:

При додаванні і відніманні дробів з рівними знаменниками чисельники складаються або віднімаються, а знаменники залишаються незмінними.

Приклад:

 

315+915=1215та67−47=27

Таким же чином складаються і віднімаються алгебраїчні дробу з рівними знаменниками:

 

- при додаванні алгебраїчних дробів їх чисельники складаються, а знаменник залишається незмінним:

;

 

- при відніманні алгебраїчних дробів їх чисельники віднімаються, а знаменник залишається незмінним:

 

Ці ж правила можна використовувати при додаванні і відніманні кількох дробів з рівними знаменниками:

Приклад:

1)xx−1+4x−1=x+4x−12)3a+5b+2a−4b=3a+5+2a−4b=5a+1b3)10mm+3−7m−9m+3=10m−(7m−9)m+3=10m−7m+9m+3=3m+9m+3=3(m+3)m+3=31=3

Зауваження. У даних випадках область визначення дробів вказувати не потрібно. Але необхідно пам'ятати, що будь-яке перетворення дробів має сенс тільки для тих значень змінної, які належать області її визначення.

 

Щоб скласти або відняти два алгебраїчних дроби, знаменники яких є протилежними виразами:
- спочатку необхідно привести дроби до спільного знаменника, тобто один з дробів тотожно перетворити за законом зміни знаків:

 - потім дроби скласти або відняти, використовуючи правило про складання і віднімання дробів з рівними знаменниками.

 

1) Щоб скласти дроби 3am−n та 2an−m, міняємо знак перед дробом 2an−m і в знаменнику на протилежний, потім віднімаємо чисельники обох дробів:    3am−n+2an−m=3am−n−2a−(n−m)=3am−n−2am−n=am−n.

 

2) Щоб відняти дроби 3yy−5 та y5−y, міняємо знак перед дробом y5−y і в знаменнику на протилежний, потім складаємо чисельники: 3yy−5−y5−y=3yy−5+y−(5−y)=3yy−5+y−5+y=3yy−5+yy−5=3y+yy−5=4yy−5

 

Приклад:

Доведи, що значення виразу F(a)=2a2+aa2−7−1+a7−a2−15+2aa2−7 не залежить від значення змінної.
Рішення:
Щоб привести дроби до спільного знаменника, спочатку перетворимо другий дріб, помінявши знаки на протилежні перед дробом і в знаменнику:

−1+a7−a2=1+a−(7−a2)=1+aa2−7−AB=A−B

 

Тепер у всіх трьох дробів рівні знаменники і, використовуючи правило про складання і віднімання дробів з рівними знаменниками, отримуємо:

F(a)=2a2+aa2−7−1+a7−a2−15+2aa2−7=2a2+aa2−7+1+aa2−7−15+2aa2−7=2a2+a+1+a−(15+2a)a2−7=2a2+a+1+a−15−2aa2−7==2a2−14a2−7=2(a2−7)a2−7=2