Скорочення алгебраїчних дробів

Теорія:

Для того, щоб скоротити алгебраїчний дріб, потрібно чисельник і знаменник розкласти на множники. Якщо виявиться, що чисельник і знаменник мають спільні множники, то їх можна скоротити.

Прийоми розкладання многочленів на множники:
- винесення спільного множника за дужку;
- використання тотожностей скороченого множення;
- спосіб групування.

Приклад:

 

	- дріб скорочений на двочлен  (m+2)
	- чисельник і знаменник дробу розкладені на множники, і дріб скорочений на загальний множник (x−y)
	- чисельник і знаменник дробу розкладені на множники, і дріб скорочений на (a−b)
	- чисельник дробу розкладений на множники за допомогою формули квадрата суми, в знаменнику загальний множник винесено за дужку; потім дріб скорочений на загальний множник (m+n).

Тотожності скороченого множення, які можна використовувати при скороченні дробів

Різниця квадратів a2−b2=(a−b)(a+b);

Квадрат суми (a+b)2=a2+2ab+b2;

Квадрат різниці (a−b)2=a2−2ab+b2;

Сума кубів a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2);

Різниця кубів a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2).

 

Приклад:

Скороти дріб x2−4x2−4x+4.

Рішення:

1. Чисельник і знаменник дробу розкладаємо на множники, використовуючи формули різниці квадратів і квадрата різниці:

x2−4x2−4x+4=(x−2)(x+2)(x−2)2

      

2. Скорочуємо дріб на загальний множник - двочлен (x−2).

 

 

 Перетвори дріб 2x+2 таким чином, щоб в знаменнику було 3x2−12.

 

Рішення:

1. Щоб зрозуміти, як розширити дріб 2x+2, вираз 3x2−12 розкладаємо на множники:

3x2−12=3(x2−4)=3(x−2)(x+2)

 

2. Порівнюємо отриманий вираз зі знаменником дробу x+2 і робимо висновок, що додатковим множником цього дробу є 3(x−2).

 

 

 

 Спрости вираз 2x3+166x2−12x+24.

Рішення:

1. В чисельнику за дужки виносимо загальний множник 2, а в знаменнику - загальний множник 6:

2x3+166x2−12x+24=2(x3+8)6(x2−2x+4)

 

2. Вираз x3+8 розкладаємо на множники, використовуючи формулу суми кубів, потім дріб скорочуємо.