Найпростіші ірраціональні рівняння

Теорія:

Рівняння, в яких під знаком кореня міститься змінна, називаються ірраціональними.

Рішення ірраціональних рівнянь зазвичай зводиться до переходу від ірраціонального до раціонального рівняння шляхом піднесення до степеня n обох частин рівняння.

 

При рішенні ірраціональних рівнянь необхідно враховувати наступне:
1. якщо показник кореня - парне число, то підкореневий вираз і значення кореня не повинні бути від'ємними;

 

2. якщо показник кореня - непарне число, то підкореневий вираз може бути будь-яким дійсним числом;

 

3. при піднесенні обох частин рівняння до парного степеня можуть виникати сторонні корені, тому при використанні даного методу необхідно робити перевірку або знаходити область допустимих значень

.

Приклад:

1. Розв'язати рівняння.3x−2−−−−−−√4=2

Розв'язок:

ОДЗ.

3x−2≥03x≥2 / : 3x≥23

Зведено обидві частини рівняння в четвертий степінь.

Зx−2=16
3x=16+2
3x=18

x=6∈ ОДЗ

Відповідь: x=6

 

2. Розв'язати рівняння.x2−24−−−−−−√=1

Розв'язок: Зведемо обидві частини рівняння в квадрат.

x2−24=1x2=24+1x2=25

Отримане неповне квадратне рівняння має два корені −5 і 5.
Зробимо перевірку отриманих коренів, для цього підставимо значення змінної x у початкове рівняння.

 

Перевірка.
При  x1=−5(−5)2−24−−−−−−−−−√=25−24−−−−−−√=1√=1  - правильно
При  x2=552−24−−−−−−−√=25−24−−−−−−√=1√=1  - правильно.
Отже, початкове ірраціональне рівняння має два кореня
Відповідь: −5 и 5.

3. Розв'язати рівняння.9−2x−−−−−√8=−12

Розв'язок: Рівняння не має коренів. Корінь парного ступеня - невід'ємне число.

Розв'яжи рівняння. 5x+7−−−−−√3=−2

Розв'язок: Зведено обидві частини рівняння в куб.

5x+7=−85x=−8−75x=−15x=−3

Відповідь: x=−3