Рівняння виду x в степені n =a

Теорія:

Рівняння виду xn=a, де a>0,n∈N,n>1, у разі парного n має два корені −a√n,a√n

у разі непарного n - один корінь a√n 

(читають: корінь n-го степеня з числа a).

 

Розв'язуючи рівняння xn=0, отримуємо єдиний корінь x=0.

 

Зверни увагу!

1. якщо показник кореня - парне число, то рівняння має два кореня;
2. якщо показник кореня - непарне число, то рівняння має один корінь.

Приклад:

1. Розв'яжи рівняння: x4=625
Розв'язок: За визначенням кореня n-го ступеня

x1=625−−−√4=5x2=−625−−−√4=−5

рівняння має два кореня

Відповідь: x1=5,x2=−5

 

2. Розв'яжи рівняння: x6=11

Розв'язок:

За визначенням кореня n-го ступеня 

x=±11−−√6x1=11−−√6x2=−11−−√6

рівняння має два кореня

Відповідь: x1=11−−√6,x2=−11−−√6

 

3. Розв'яжи рівняння: x7=13

Розв'язок: Рівняння має один корінь x=13−−√7

Розглянемо випадок рівняння  xn=a, при а<0.

Зверни увагу!

1. якщо показник кореня - парне число, то рівняння не має коренів;
2. якщо показник кореня - непарне число, то рівняння має один корінь

Приклад:

 

1. Розв'яжи рівняння: x8=−7

Розв'язок: Рівняння не має коренів

 

2. Розв'яжи рівняння: x9=−4

Розв'язок: За визначенням кореня n-го ступеня

x=−4√9

Рівняння має один корінь

 

3. Розв'яжи рівняння: x3=−8

Розв'язок: −8−−−√3=−8√3=−2

x=−2

Рівняння має один корінь

 

Джерела:

Мордкович А.Г. Алгебра і початки аналізу. 10-11 кл .: Підруч. для загальноосвіт. установ. — 2-е вид. — М.: Мнемозіна, 2001.