Квадратні нерівності

Теорія:

Загальний вид квадратних нерівностей, це ax2+bx+c>0(<0,≤0,≥0),деa≠0.

Множину розв'язків квадратної нерівності легко визначити, приблизно накресливши графік функції y=ax2+bx+c (параболу).

 

Кроки розв'язання квадратної нерівності:

 

1. Визначаються точки перетину параболи і осі x за допомогою розв'язання рівняння ax2+bx+c=0.

Згадаймо формули коренів квадратного рівняння:

 D=b2−4acx1=−b+D−−√2a,x2=−b−D−−√2a

 

Якщо  D>0, у рівняння два різних кореня, парабола перетинає вісь x у двох точках
Якщо  D=0, у рівняння два однакових кореня, вершина параболи знаходиться на осі x
Якщо  D<0, у рівняння немає реальних коренів, парабола не перетинає вісь x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Враховуючи кількість коренів і знак коефіцієнта a, креслиться графік параболи.

Зверни увагу!

Якщо a>0, гілки параболи спрямовані вгору, якщо a<0, то вниз.

 

Порада: якщо хочеш, щоб гілки параболи завжди були спрямовані вгору, у випадках, коли a<0, треба спочатку обидві частини нерівності помножити на (−1). Не забудь, що на протилежний поміняється також знак нерівності.

 

3. Обираються порожні або зафарбовані точки, в залежності від виду знака нерівності:

∙, якщо стоїть знак нестрогої нерівності ≤ або  ≥

о, якщо стоїть знак строгої нерівності < або <

 

4. Зафарбовується правильний інтервал.

 

5. Записується відповідь.

Приклад:

Розв'язати квадратну нерівність −2x2+4x−5≤0

Розв'язання:

−2x2+4x−5≤0∣∣⋅(−1)2x2−4x+5≥0D=16−4⋅2⋅5=−24парабола не перетинає вісьOx   За малюнком видно, що графік додатний будь-якому значенню x   Відповідь:  x∈(−∞;+∞)абоx∈R