Модуль дійсного числа

Теорія:

Модулем невід'ємного дійсного числа x називають саме це число: |x|=x; модулем від'ємного дійсного числа x називають протилежне число: |x|=−x.

Коротше це записують так: |x|={x,якщоx≥0−x,якщоx<0

Наприклад,

|5|=5|−5|=−(−5)=5|−3.7|=−(−3.7)=3.7∣∣5√−2∣∣=5√−2(так як5√−2>0)

 

Властивості модулів

1.|a|≥0;

2.|ab|=|a|⋅|b|;

3.∣∣ab∣∣=|a||b|;

4.|a|2=a2;

5.|a|=|−a|.

 

Геометричний сенс модуля дійсного числа

Повернемося до множини R дійсних чисел і його геометричної моделі — числової прямої. Зазначимо на прямій дві точки a і b (два дійсних числа a і b), позначимо через ρ (a,b) відстань між точками a і b (ρ — буква грецького алфавіту «ро»).

Ця відстань дорівнює b−a, якщо b>a,

 

 

воно дорівнює a−b, якщо a>b нарешті,

 

 

воно дорівнює нулю, якщо a=b.

Усі три випадки охоплюються однією формулою: ρ(a,b)=|a−b|.

Приклад:

Розв'яжіть рівняння |x−2|=3.

Переведемо аналітичну модель |x−2|=3 на геометричну мову: нам потрібно знайти на координатній прямій такі точки x, які задовольняють умові ρ(x;2)=3, тобто віддалені від точки 2 на відстань, що дорівнює 3. Це точки 1 і 5.

 

 

Отже, рівняння має два кореня: −1 і 5.

Джерела:

А. Г. Мордкович Алгебра. 8 клас. М: 2010, 76 cтор.