Доказ раціональних виразів

Теорія:

 Довести тотожність — це означає встановити, що при всіх допустимих значеннях змінних його ліва і права частини являють собою тотожно рівні вирази.

Тотожності можна доводити різними способами:

 

1. виконати перетворення лівої частини і привести до правої частини;
2. виконати перетворення правої частини і привести до лівої частини;
3. окремо виконати праву і ліву частини і отримати і в першому і в другому випадку одне і те ж вираз;
4. скласти різницю лівої і правої частин і в результаті її перетворень отримати нуль.

Який спосіб вибрати - залежить від конкретного виду тотожності.

 

Приклад:

Приклад. довести тотожність a+b2(a−b)−a−b2(a+b)=ba−b−b2−aba2−b2

Рішення. В даному прикладі доцільно вибрати третій спосіб.

 

Перетворимо ліву частину.
a+b(a+b2(a−b)−a−b(a−b2(a+b)=(a+b)2−(a−b)22(a−b)(a+b)=(a2+2ab+b2)−(a2−2ab+b2)2(a−b)(a+b)==a2+2ab+b2−a2+2ab−b22(a−b)(a+b)=4ab2(a2−b2)=4⋅a⋅b2⋅(a2−b2)=2aba2−b2

 

Перетворимо праву частину.

ba−b−b2−aba2−b2=b(a+ba−b−b2−ab(a−b)(a+b)=b(a+b)(a−b)(a+b)−b2−ab(a−b)(a+b)==b(a+b)−(b2−ab)(a−b)(a+b)=ab+b2−b2+ab(a−b)(a+b)=2aba2−b2

 

Отримали в першому і в другому випадку один і той же вираз:

2aba2−b2=2aba2−b2

Це значить, що тотожність доведена.

 

В доказі були застосовані формули скороченого множення.

a2−b2=(a−b)(a+b)(a+b)2=a2+2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2

 

Зверни увагу!

Тотожність справедлива лише для допустимих значень змінних

 

Джерела:

Мордкович А.Г.  Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.