Розв'язання задач за допомогою систем рівнянь

Теорія:

Система двох рівнянь з двома змінними може служити математичною моделлю реальної ситуації.

 

Розв'язання текстової задачі ділиться на три етапи:

Перший етап. Складання математичної моделі.
Другий етап. Робота з складеною моделлю.
Третій етап. Відповідь на питання задачі.

 

Задача.  Різниця катетів прямокутного трикутника дорівнює
23 см, а його гіпотенуза дорівнює 37 см. Знайдіть площу трикутника.

Розв'язання.

Перший етап. Складання математичної моделі.

 

Позначимо довжину одного катета xсм, а іншого ycм.

Тоді x−y=23 — різниця катетів прямокутного трикутника.

 

Застосувавши теорему Піфагора, отримаємо друге рівняння:

x2+y2=372x2+y2=1369

 

Складаємо систему двох рівнянь з двома невідомими:

{x−y=23x2+y2=1369

Другий етап. Робота з складеною моделлю.

 

Виразимо x через y з першого рівняння системи.

{x=23+yx2+y2=1369

 

Підставимо цей вираз замість x в друге рівняння системи.

x2+y2=1369(23+y)2+y2=1369232+46y+y2+y2=13692y2+46y+529−1369=02y2+46y−840=0|:2y2−23y−420=0y1=12¯¯¯¯

y2=−35 (не підходить за умовою задачі)

 

Знайдемо x з першого рівняння системи.

x=23+12=35¯¯¯¯

 

Третій етап. Відповідь на питання задачі.

 

Знайдемо площу прямокутного трикутника.

S=12xy=12⋅12⋅35=126⋅3521=210см2

Відповідь: S=210см2