Властивості основних функцій

Теорія:

Лінійна функція y=kx+m

Зверни увагу!

Графіком функції y=kx+m є пряма.

Властивості функції y=kx+m

1) D(f)=(−∞;+∞);

2) зростає, якщо k>0, убуває, якщо k<0;

3) не обмежена ні знизу, ні зверху;
4) немає ні найбільшого, ні найменшого значень;
5) функція неперервна;

 

6) E(f)=(−∞;+∞).

 

 

 

 

 

Функція y=kx2,k≠0

Зверни увагу!

Графіком функції y=kx2,k≠0 є парабола з вершиною на початку координат і з гілками, спрямованими вгору, якщо k>0, та вниз, якщо k<0.

Властивості функції y=kx2,k≠0

Для випадку k>0

1) D(f)=(−∞;+∞);

2) убуває на промені (−∞;0], зростає на промені [0;+∞);

3) обмежена знизу, не обмежена зверху;

4)yнайм=0, найбільшого не існує;
5) функція неперервна;

6) E(f)=[0;+∞);

7) випукла вниз.

 

Властивості функції y=kx2,k≠0

Для випадку k<0

1) D(f)=(−∞;+∞);

2) зростає на промені (−∞;0], убуває на промені [0;+∞);

3) не обмежена знизу, обмежена зверху;
4) найменшого значення не існує, yнайб=0;

5) функція неперервна;

6)E(f)=(−∞;0];

7) випукла вгору.

Функція y=kx

Зверни увагу!

Графіком функції є гіпербола.

Властивості функції y=kx

1) D(f)=(−∞;0)∪(0;+∞);

2) якщо k>0, то функція убуває на відкритому промені (−∞;0) та на відкритому промені (0;+∞);  якщо k<0, то функція зростає на (−∞;0) та на (0;+∞);

3) не обмежена ні знизу, ні зверху;
4) немає ні найбільшого, ні найменшого значень;
5) функція неперервна на відкритому промені (−∞;0) та на відкритому промені  (0;+∞);

6)E(f)=(−∞;0)∪(0;+∞).

 

 

 

Функція y=x√

Зверни увагу!

Графіком функції y=x√ є гілка параболи.

Властивості функції y=x√

1) D(f)=[0;+∞);

2) зростає;
3) обмежена знизу, не обмежена зверху;

4)yнайм=0, найбільшого не існує;
5) функція неперервна;

6) E(f)=[0;+∞);

7) випукла вгору.

Функція y=|x|

Зверни увагу!

Графіком функції є об'єднання двох променів: y=x,x≥0 та y=−x,x≤0.

Властивості функції y=|x|

1) D(f)=(−∞;+∞);

2) убуває на промені (−∞;0],  зростає на промені [0;+∞);

3) обмежена знизу, не обмежена зверху;

4)yнайм=0, найбільшого не існує;
5) функція неперервна;

6) E(f)=[0;+∞).

 

Функція y=ax2+bx+c

Зверни увагу!

Графіком функції y=ax2+bx+c є парабола з вершиною в точці (x0;y0), де x0=−b2a,y0=f(x0)=ax02+bx0+c,  і з гілками спрямованими вгору, якщо a>0, та вниз, якщо a<0.

Властивості функції  y=ax2+bx+c

Для випадку a>0

1) D(f)=(−∞;+∞);

2) убуває на промені (−∞;−b2a], зростає на промені [−b2a;+∞);

3) обмежена знизу, не обмежена зверху;

4)yнаим=y0, найбільшого не існує;
5) функція неперервна;

6) E(f)=[y0;+∞);

7) випукла вниз.

Для випадку a<0

1) D(f)=(−∞;+∞);

2) зростає на промені (−∞;−b2a], убуває на промені [−b2a;+∞);

3) не обмежена знизу, обмежена зверху;
4) найменшого значення не існує, yнаиб=y0;

5) функція неперервна;

6) E(f)=(−∞;y0];

7) випукла вгору.

 

 

Джерела:

А. Г. Мордкович, П. В. Семёнов Алгебра. 9 класс.. М: 2010, 103 c.