Парні і непарні функції

Теорія:

Функцію y=f(x), x∈X називають парною, якщо для будь-якого значення x з множини X виконується рівність f(−x)=f(x).

 

Функцію y=f(x), x∈X  називають непарною, якщо для будь-якого значення x з множини X виконується рівність f(−x)=−f(x).

Функція може бути парною, непарною, а також ні парною, ні непарною.
Вивчення питання про те, чи є задана функція парною або непарною, називають дослідженням функції на парність.

Якщо функція y=f(x) - парна або непарна, то її область визначення D(f) - симетрична множина.

Якщо ж D(f) - несиметрична множина, то функція y=f(x) не може бути ні парною, ні непарною.

Алгоритм дослідження функції y=f(x) на парність

1. Установити, чи симетрична множина D(f) - область визначення функції. Якщо ні, то оголосити, що функція не є ні парної, ні непарної. Якщо так, то переходити до другого кроку алгоритму.

 

2. Скласти вираз f(−x).

 

3. Порівняти  f(−x) та  f(x):

а) якщо f(−x)=f(x) для будь-якого x∈D(f), то функція парна;

б) якщо f(−x)=−f(x) для будь-якого x∈D(f), то функція непарна;

в) якщо хоча б в одній точці x∈D(f) виконується співвідношення f(−x)≠f(x) і хоча б в одній точці x∈D(f) виконується співвідношення f(−x)≠−f(x), то функція y=f(x) не є ні парною, ні непарною.

Якщо графік функції y=f(x) симетричний щодо осі ординат, то y=f(x) парна функція.

Якщо графік функції y=f(x) симетричний відносно початку координат, то y=f(x) непарна функція.

Джерела:

А. Г. Мордкович, П. В. Семёнов Алгебра. 9 класс. М: 2010, 110 c