Блог Басараби Марії Михайлівни: Теорема Вієта

четвер, 18 лютого 2016 р.

Теорема Вієта

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Теоре́ма Віє́та — формули, названі на честь Франсуа Вієта, що виражають коефіцієнти многочлена через його корені.
Ці формули зручно використовувати для перевірки правильності знаходження коренів та для задання многочлена з визначеними властивостями.

Формули

Якщо

\ x_1, x_2, \ldots, x_n

— корені многочлена

\ x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + ... + a_n

(кожен корінь присутній відповідно до його кратності),
то коефіцієнти

\ a_1, \ldots, a_n

виражаються в вигляді симетричних многочленів від коренів, а саме:

\begin{matrix} a_1 &=& -(x_1 + x_2 + \ldots + x_n) \\ a_2 &=& x_1 x_2 + x_1 x_3 + \ldots + x_1 x_n + x_2 x_3 + \ldots + x_{n-1} x_n \\ a_3 &=& -(x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + \ldots + x_{n-2} x_{n-1} x_{n}) \\ \cdots & & \cdots \\ a_{n-1} &=& (-1)^{n-1} (x_1 x_2 \ldots x_{n-1} + x_1 x_2 \ldots x_{n-2} x_n + \ldots + x_2 x_3...x_n) \\ a_n &=& (-1)^n x_1 x_2 \ldots x_n \end{matrix}.

Іншими словами

\ (-1)^k a_k

дорівнює сумі всіх можливих

\ k

-добутків із коренів.
Якщо старший коефіцієнт многочлена

\ a_0 \ne 1

, то для застосування формули Вієта необхідно розділити всі коефіцієнти на

\ a_0.

Із останньої формули Вієта випливає, що якщо корені многочлена є цілими, то вони є дільниками його вільного члена, який також є цілим.

Доведення

Доведення використовує рівність

\ x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \ldots + a_n = (x - x_1)(x - x_2) \ldots (x - x_n).

Права частина представляє многочлен, розкладений на множники.
Після відкриття дужок, коефіцієнти при однакових степенях x повинні бути однаковими в обох частинах, з чого слідують формули Вієта.